1．介紹
動態多模分析的目的是進行雷射多模和雷射調Q運轉分析。雷射腔內橫模結構近似為HG和LG模式。HG和LG模式是不同本征頻率對應的正交特徵函數，我們假設模式之間的橫模振盪互不幹擾，因此模式之間的短時干涉影響可以忽略。基於這個假設，起振模式中的反轉粒子數密度和光子數是由下麵的以時間為變數的3D速率方程描述：
方程1-3描述反轉粒子數密度 ，腔內總光子數 ，歸一化光子密度分佈 ，單個橫模的光子數 ，相應的單個模式歸一化光子密度分佈 。在單個模式中基於光子數 的時間和光子密度分佈 用於描述整個橫模結構的分佈。採用同樣的方法，可以得到與時間相關的模式競爭效應分析和腔的多模行為。該計算結果可用於計算光束品質和雷射功率輸出，描述與時間相關的Q開關運轉。
方程2-3中的參數如下
方程2-3用於四能級雷射系統。准三能級系統的多模分析還在研究中。三能級（泵浦能級）和能級2（雷射上能級）之間，能級1（雷射下能級）和能級（基態能級）之間的快速衰減速率已被假定。
在前面的章節中有詳細的關於計算雷射輸出功率，Q開關運轉和光闌影響的參數和方程之間的數學關係的介紹。或者，可以點擊LASCAD主視窗主功能表的“Help DMA Code”。
接下來有一個關於DMA編碼的指南。它顯示了怎樣比較合理地定義DMA GUI中單個輸入參數來模擬CW多模操作，Q開關運轉和光闌的影響。
2．雷射器連續輸出時輸出功率，模式競爭，和光束品質的模擬
要使用DMA編碼，需要在腔內插入一個熱透鏡晶體。可以參照教程1的說明，準備一個端面泵浦的晶體。簡便地，我們可以直接打開tutorial-1.lcd檔啟動腔結構，該檔可以在LASCAD的子目錄“tutorials”中找到。在我們設置好FEA編碼和在模式腔內插入晶體後，在LASCAD主功能表中選擇 “Dynamic Multimode Analysis”，打開DMA視窗。在該視窗中，點擊Open GUI for DMA，打開“Dynamic Multimode Analysis”。該窗口有5個標籤，如下：
2.1 高斯模式選項
點選該選項並選擇“type of Gaussian modes”來近似雷射模式結構。如果模式結構是象散的，選擇Hermite-Gaussian模式。在旋轉對稱腔結構設計時，選擇LG模式更好。但是，如果橫模數量較多，則推薦採用Hermite-Gaussian模式，高階LG在數值上更複雜。模式類型選擇會自動地基於雷射模式結構的象散選擇。“Maximum transverse mode order”定義在x和y方向的最大傳輸模式階數Nmax。但是，隨著Nmax的增加，由於總模式數 ，因此M也會跟著變大，將耗費一定的計算時間。
如果Nmax已經定義，我們需要設置“Number of grid points in x- and y- direction”足夠大來解決高階傳輸模式的傳輸強度振幅分佈。否則，該數值和熱FEA中使用的橫向格點大小一樣。熱FEA大小仍然保留“Number of grid points in z-direction”。
“Stretch factor in x- and y-direction related to beam diameter”的定義嚴格依賴於Nmax和在Help中描述的泵浦光分佈情況。如果Nmax=0，我們就需要將伸展因數設置為2來考慮基模和吸收泵浦光功率分佈的疊加情況。
2.2 速率方程選項
雖然該標籤的定義已經在LASCAD的“Laser Power Output”視窗定義過，但是還是有必要在該標籤中再定義一次。與時間無關的雷射功率輸出結果相比，該視窗處的定義需要與別的輸出一致。
2.3 CW運轉選項
“Time resolution”的預設值10ns，與普通雷射結構相符。但是，該條目和“Time period used for simulation”應該受計算結果控制。
2.4 光束品質
光束品質因數 和 是根據Siegman and Townsend用如下方程計算的
 和 分別是i階高斯模式在x和y方向的橫向模式階數。係數 的定義為
其中， 是在時間t時的總輸出功率， 是單個模式的輸出功率。
2.5 結果
DMA GUI中點擊“Calculate”，彈出DMA Calculation視窗顯示計算進程。在視窗顯示的資訊中，如“Power output for TEM00 mode using CW time independent recursion formula” 用於與相關計算的對比，在Laser Power Output視窗打開後開始計算。
在計算末，顯示了最後四分之一模擬時間的單個模式平均功率輸出。為了減少輸出尖峰的影響，平均時間必須嚴格與模擬時間的四分之一相同，如圖1。如果尖峰擴展到最後四分之一模擬時間，我們推薦增加“CW Operation”標籤中的“Time period of simulation”。接下來，如果沒有其他具體的參數指定，物理量按照上述方式進行平均。
如果按照教程1中的條件設置腔結構，並保持DMA GUI選項中的預設設置（除了將Nmax設置為3），我們可以得到表1中的結果。
Mode (0,3): 1.23341
Mode (0,2): 0.598921
Mode (0,1): 0.560508
Mode (1,2): 0.550806
Mode (3,0): 0.545464
Mode (1,3): 0.491664
Mode (0,0): 0.456887
Mode (3,1): 0.417439
Mode (1,1): 0.413295
Mode (1,0): 0.346157
Mode (3,3): 0.323292
Mode (2,2): 0.321322
Mode (2,1): 0.305183
Mode (2,0): 0.160791
Mode (3,2): 0.149285
Mode (2,3): 7.35643e-040
表1 單個模式功率輸出教程1中腔結構
該結果顯示教程1中象散對吸收泵浦功率密度的影響，在x-z平面呈高斯分佈，在y-z平面是指數為10的超高斯分佈。如表中所示，模式（m ,n）和模式（n, m）的功率大小不同，例如，Mode(0,3)功率為1.31W，Mode(3,0)的功率僅有0.57W。結果，x方向和y方向的光束品質 ， 不同。總輸出功率為6.87W。
在關閉DMA和LASCAD之後，我們也可以通過打開DMA相關目錄下的output.txt檔查看數值結果。
點擊DMA GUI的“Show Results”按鈕，打開DMA觀察器查看結果。在觀察視窗下方的下拉清單中可以選擇重要的2D和3D圖。
圖1 輸出功率隨時間變化
圖1顯示，隨時間變化的輸出功率圖。計算開始時假定反轉粒子數密度 。因為這不同於熱平衡條件，所以一開始會看到尖峰，隨著時間的增加輸出功率逐漸變小，最後會趨向於常數。基於腔結構，我們有必要增加“Time period used for simulation”來實現收斂。
單個模式隨時間變化的輸出功率也可以單獨顯示。
同時也可以顯示隨時間變化的輸出功率二維圖，沿腔軸TM00模式光斑圖。 “Beam profile in the crystal” 三維圖，基於單個模式對總輸出功率的貢獻，顯示了它們之間的疊加。基於教程1的腔結構的例子，如圖2。該圖顯示了教程1中吸收泵浦光功率密度的象散分佈影響。可見，強度分佈有很明顯的象散，y方向的高階橫模比較突出。
圖2 晶體中光束截面分佈
3 Q開關運轉模擬
在“Pumping”下拉清單中可以選擇兩個不同模式的泵浦，CW泵浦和脈衝泵浦。脈衝泵浦可用於近似被動Q開關模型，見第3.3節。
3.1 CW泵浦
對於連續波長泵浦，由重複固定頻率引發的預定義脈衝也可以計算。在速率方程中引入較高的人為腔損耗可以抑制裝入時的雷射震盪，可以在“Q-switch induced loss during load phase”框中定義。我們通常採用該參數的預設值0.8。因為在載入期沒有受激輻射發生，此時產生粒子束反轉。
如果打開週期大於0，人工調Q損耗不會立即減少，但是會在已定義的開放時間不斷地降低到普通腔損耗。但是，該參數對脈衝能量和形狀只有非常微小的影響。
.
因此，一個合適脈衝週期的定義很重要。該值不代表脈衝物理寬度，僅定義了脈衝計算的時域。在脈衝產生時，粒子束反轉和光子密度會瞬間變化，很有必要在脈衝週期內定義一個數值較大的時步來獲得較好的離散。因為腔結構會導致脈衝生成被延遲，可能需要我們設置脈衝週期比脈衝頻寬大，來阻止脈衝展寬成弛豫週期。
載入時間“Load period”+打開時間“opening period”+脈衝時間“pulse period”必須小於脈衝重複週期“pulse repetition period”。在計算多個脈衝時，剩餘時間就是鬆散週期，是脈衝週期和新的導入時間之間的緩衝區。在鬆散週期中的時步可以很小，因為粒子束反轉和光子密度在此時幾乎不變化。
3.2 CW泵浦結果
再一次結合教程1中的腔結構與DMA GUI標籤中的預設設置，除了設置基模（Nmax=0），計算結果顯示了3個脈衝中的最後一個。
Power output averaged over pulse repetition period [W] = 2.92419
Pulse energy [mJ] = 0.194946
Pulse width (FWHM) [ns] = 5.15
Average Beam Quality M2 in x-direction = 1
Average Beam Quality M2 in y-direction = 1
Peak power output 32216.1 [W] at time 0.000198894 [s]
輸出脈衝的最大值提供了光學元件損耗的重要資訊。
像“DMA Viewer Help”描述的，在放大“Power output over time”的二維圖後，可見脈衝外形。圖3顯示了一個典型的脈衝形狀的例子。
圖3 CW泵浦典型脈衝外形
3.3 脈衝泵浦
除了“CW pumping”，“Pulsed synchronous with Q-switch”也可以選作“Mode of pumping”。該輸入可用於創建被動Q開關的近似模型。在脈衝泵浦的情況下，假設泵浦的起始時間與導入時間同步。在連續波泵浦中，脈衝泵浦頻率明顯要比脈衝重複頻率小很多，但是兩種脈衝的時間間隔很大。因此，脈衝之間沒有重疊發生，我們限制脈衝數為1。計算的時間週期以脈衝週期截止。
然而，脈衝重複頻率必須由以下因素來定義。目前的LASCAD版本使用一個時間獨立的代碼進行熱分析。在熱分析時，如果採用脈衝泵浦，我們需要採用泵浦功率平均時間。如果泵浦頻率大於60HZ，近似精度就足夠了。在FEA窗口定義的值是用泵浦功率平均時間除以“Pulse repetition frequency”與“Load period”乘積，採用該計算可以得到脈衝泵浦的泵浦功率。因此，兩個條目都必須在選項卡Q-switch中定義。低泵浦頻率和單泵浦的與時間相關的熱FEA還在研究中。
因為脈衝泵浦很容易實現很高的粒子束反轉，相比於連續波泵浦，輸出鏡的反射率低一些。我們繼續使用教程1中的腔面結構，Nmax=0，速率方程標籤下的輸出鏡的反射率為0.5，調Q條目的設置也一樣，得到如圖4的結果：
Pulse 0: M2x = 1 M2y =1
Power output averaged over pulse repetition period [W] = 71.8257
Pulse energy [mJ] = 14.3687
Pulse width (FWHM) [ns] = 0.495
Average Beam Quality M2 in x-direction = 1
Average Beam Quality M2 in y-direction = 1
Peak power output 2.3572e+007 [W] at time 0.000200002 [s]
Power averaged over whole simulation time [W]: 71.8257,
with whole simulation time [s]: 0.00020005.
Power output of individual modes averaged over computation period [W]:
Mode (0,0): 71.8257
Power output summed up over all considered modes = 71.8257
圖4 脈衝調Q參數設置
圖5 脈衝泵浦脈衝外形
採用圖4的輸出參數，得到圖5所示的脈衝形狀。
4 光闌影響模擬
“Apertures”標籤下的條目可以設置高斯光闌和硬邊光闌，另外，也可以是硬邊、高斯或者超高斯的平面鏡。
4.1 硬邊光闌和平面鏡
硬邊光闌或者平面鏡可以是橢圓的，矩形的。在“Type of Aperture”的下拉清單中選擇相關條目。
如果孔徑的位置小於0，光闌代表了輸出平面鏡（即右端面鏡），在x，y方向的光闌大小不等。
採用教程1中的腔面結構，Nmax=3，半徑大小為0.2mm的圓形端面鏡，運行連續波計算。表2顯示的結果與表1不同，因為輸出平面鏡的半徑大小有限。只有模式(0,1)，（1,0）和（0,0）對輸出功率起作用。相應地，與2.5節中沒有使用光闌的結果相比，輸出功率從6.9W減少到4W。但是，光束品質得到改善，  。
Mode (0,1): 1.83459
Mode (1,0): 1.42093
Mode (0,0): 0.721171
Mode (1,1): 5.85802e-042
Mode (2,0): 4.07249e-042
Mode (0,2): 2.36935e-042
Mode (2,1): 9.62273e-043
Mode (1,2): 7.98643e-043
Mode (3,0): 6.69612e-043
Mode (0,3): 4.63281e-043
Mode (2,2): 3.62786e-043
Mode (3,1): 3.49377e-043
Mode (1,3): 2.9093e-043
Mode (3,2): 2.12117e-043
Mode (2,3): 2.08619e-043
Mode (3,3): 1.53504e-043
表2 最後四分之一模擬時間的單個模式平均功率輸出
採用教程1中的腔結構，另外，輸出平面鏡的半徑大小為0.2m
4.2 超高斯輸出平面鏡
在“Apertures”中可以定義高斯或者超高斯輸出平面鏡。在高斯選項中，還需要選擇“Type of aperture”，設置孔徑的位置小於0。在本例中，輸出平面鏡的反射率由 定義，其中超高斯指數 。 是週邊底部反射率。對於 ，採用 的計算值，其中 需要在“Rate Equations”定義“Reflectivity of output mirror”。
因為ABCD矩陣演算法中沒有考慮超高斯光闌，所以超高斯分佈內部就採用指數SG的高斯近似，如圖6所示，SG=4。該近似是合理的，因為只有半徑小於 的模式才會對總的模式外形造成影響。獲得的高斯擬合用在ABCD矩陣演算法中。
圖6 SG=4的超高斯反射率分佈的高斯擬合
接著，我們繼續採用教程1的腔結構，Nmax=3，其他與10.4.2.4，10.4.4.1節的設置相同。運行連續波計算，我們得到表3的結果。我們可以看到，由於超高斯輸出鏡，僅有00模式存在。相應地，光束截面分佈顯示了著名的高斯基模外形。令人驚奇的是，該模式的功率為4.22W。該大小與2.4節得到結果相比，明顯高出了很多，4.2節中所有模式的總功率為6.87W。
與硬邊光闌的結果相比，硬邊光闌條件下的輸出功率為4W，而超高斯光闌的輸出功率為4.22W，然而，x，y方向的光束品質改善到1。
Mode (0,0): 4.22301
Mode (0,1): 3.01251e-041
Mode (1,0): 1.1211e-041
Mode (0,2): 8.25512e-042
Mode (1,1): 6.72075e-042
Mode (0,3): 4.86947e-042
Mode (1,2): 4.73229e-042
Mode (2,0): 4.64064e-042
Mode (2,1): 4.03505e-042
Mode (1,3): 3.73545e-042
Mode (2,2): 3.60176e-042
Mode (2,3): 3.24972e-042
Mode (3,0): 3.24888e-042
Mode (3,1): 3.21808e-042
Mode (3,2): 3.16512e-042
Mode (3,3): 3.05088e-042
表3 最後四分之一受激時間的單個模式的功率輸出
基於超高斯輸出平面鏡，教程1的腔結構的計算
5．結論
上面章節的所有計算證實了DMA編碼用於多模競爭的動態分析和Q開關都是一個非常好用的工具。該工具可以計算與時間相關一系列單個橫模的相互作用，光束品質，雷射輸出功率，橫模結構的強度分佈，連續波和脈衝泵浦的脈衝外形，脈衝波峰強度等。因此它給雷射工程師在優化雷射腔結構時提供了重要的資訊和説明。
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