（Frank Wyrowski教授）

2025年1月

摘要

       在光學設計中，通常使用兩種介質之間的光滑介面來塑造波前。球面和非球面介面用於在成像系統中創建透鏡和反射鏡。在非成像光學中，自由曲面被用來故意引入特定的像差以塑造光的能量分佈。在每種情況下，表面都將入射波前的相位轉換為符合設計標準的特定輸出相位。
 
       平面表面可以實現通常通過光滑表面進行的相同相位變換。本文探討了設計平面透鏡的基本原理，包括菲涅爾透鏡、繞射透鏡和超透鏡。
 
       所有示例均使用VirtualLab Fusion (VLF) 軟體進行。新引入的技術和功能計畫於2025年發佈到VLF。如需瞭解更多發佈詳情或有關超透鏡設計和建模的疑問，請聯繫support@infotek.com.tw。
 
       本文源自Frank Wyrowski在2024年5月22日Photonics Media網路研討會上，Frank Wyrowski主持的 “平面透鏡：追尋從平滑表面到菲涅爾透鏡、繞射透鏡以及超透鏡的演變” (Flat Lenses: Tracing the Evolution from Smooth Surfaces to Fresnel, Diffractive, and Meta Lenses)講座的文字記錄和演示文稿。


 

 
1. 平面透鏡的潛力與局限性


     幻燈片 #2-5


       在本文的開頭，我打算探討一個問題：將平面透鏡集成到光學設計中可以期待什麼樣的結果？為了回答這個問題，有必要介紹一些與平面透鏡討論相關的透鏡設計基本原理。每個透鏡都旨在轉換一個或多個入射波前。在成像中，通常轉換球面和平面波前。透鏡的功能由其預期執行的轉換定義。這些資訊通過所謂的功能透鏡得以保存，並可用於建模和設計。功能透鏡通過一組輸入相位及其相應的輸出相位（也稱為信號相位）提供所有轉換的詳細資訊。僅涉及一對波前相位的轉換稱為單場轉換。另一方面，當涉及多對波前相位時，該過程稱為多場轉換。


 

圖1：幻燈片#5

 


     幻燈片 #6-7


        在一個基本的成像場景中，功能透鏡指定了將發散的球面輸入波前相位轉換為會聚的球面輸出波前相位。本文將集中討論與單色光相關的轉換。我推薦參考Kleemann等人的工作，該工作基於應用於單色光的技術，提供了設計用於多色光的平面光學的見解[2]。
 
        從功能透鏡的規格開始，設計透鏡表面的目標是用一個物理透鏡替代功能透鏡，以實現指定的單場或多場轉換。在近軸近似內，表面的設計通過單個球面解決。

 
     幻燈片 #8-13

 
       讓我們詳細研究實現單場轉換的單個透鏡表面的設計。透鏡表面的設計可以基於物理光學的原理，即電磁場的相位在不同介電介質之間的介面上保持不變。這一陳述是折射定律的另一種表達方式。我們得出表面設計方程：


 

圖2：幻燈片#8

 

             (1)
常數相位 可以進行調整，以確保表面與指定的參考點 相交。


 

圖3：幻燈片#11

 

       我們從圖3中指定的示例開始。通過數值求解設計方程，得到了實現所需變換的表面S。虛線表示入射場的大小，由此我們確定了表面厚度，如藍色區域所示。需要注意的是，透鏡表面的扁平化不會影響物體和像平面的距離，因此系統的長度保持不變。
 


     幻燈片 #14-16


       接下來，我們檢查一個離軸場，並使用兩個不同的參考點進行表面設計。得到的表面如圖4所示。正如預期的那樣，由不同物體點生成的表面有些不同。因此，單個表面無法解決多場變換問題，並且會為除設計波前之外的任何輸入波前生成像差。因此，必須包含額外的表面來平衡像差，並以足夠的精度實現所需的多場變換。沒有證據表明平面透鏡可以消除這一要求。


 

圖4：針對兩個不同參考點的軸上（藍色）和軸外（紅色）物體點的表面設計。


 

圖5：幻燈片#17


 

     幻燈片 #17-18


       需要注意的是，文獻中提到了一些配置，其中場重疊但佔據不同區域，作為校正平面透鏡像差的一種方法。當然，設計用於像平面附近像差控制的透鏡表面比位於光闌和光瞳附近的透鏡更具優勢。然而，這同樣適用於平面和“厚”透鏡表面。這一點在圖5所示的手機相機鏡頭系統中表現得尤為明顯。

       為了進一步瞭解，讓我們考慮光束擴展器的設計。在這種情況下，需要一個初始透鏡將入射的平面相位轉換為會聚或發散的球面相位。這裡展示了發散的情況。第二個透鏡用於準直入射光，從而將球面相位轉換回平面相位。因此，使用兩個透鏡是必要的。光束擴展的程度由透鏡之間的距離d及其數值孔徑決定。透鏡的扁平化不會改變這一結果。
 


     幻燈片 #19-29


       這些觀察得出以下結論：
 
       -平面透鏡減少了透鏡的厚度和重量。
 
       -平面透鏡的薄型輪廓可能為減少透鏡表面之間的間距提供更多選擇。
 
       -平面透鏡的製造方法與傳統透鏡不同，這在特定情況下可能帶來優勢。
 
       -平面透鏡可能為可切換透鏡提供新的機會。
 
       -用平面表面替換厚透鏡表面會改變系統中的像差動態，這可能會根據具體情況增強像差校正的可能性。
 
       -使用具有強烈且相反色差的繞射透鏡來抵消光滑透鏡表面的色差，是這種潛力的一個充分記錄的實例。
 
       -平面透鏡的某些特性，如其偏振敏感功能，可能根據其用途被視為有益或有害。
 
       -沒有證據表明平面透鏡（包括超透鏡）能夠減少系統的總長度或光學系統中的透鏡表面數量，超出非球面和自由曲面所能達到的範圍。
 


     幻燈片 #30-38


       最終，平面透鏡為光學設計工具陣列提供了一個顯著且引人注目的補充。平面透鏡的實用性因其應用背景的不同而有顯著變化。總之，將平面透鏡技術集成到透鏡設計工作流程中，以充分理解和利用其能力至關重要。現在是時候實際評估平面透鏡的潛力，而不僅僅是停留在理論討論上了。以下兩個工作流程至關重要：
 
       工作流程 #1：

       1. 根據指定的功能透鏡進行平面透鏡的結構設計。

       2. 評估平面透鏡的性能。

       3. 收集並匯出透鏡資料以滿足製造需求。

       工作流程 #2：

       1. 用平面透鏡替換“厚”透鏡表面。

       2. 評估包含平面透鏡的系統的功能。

       3. 促進系統優化。
 
       將平面透鏡集成到透鏡設計工作流程中，需要在理論基礎和光學軟體的實現方面取得重大進展。在不同軟體產品之間引入資料介面並不能提供所需的解決方案。
 

       在光學軟體的進步中，必須實現三個基本目標：

       1. 開發高效且使用者友好的平面透鏡設計演算法。

       2. 能夠以足夠的精度和速度模擬包含平面透鏡的透鏡系統。

       3. 促進包含平面透鏡的光學系統的優化。
 
       在LightTrans，我們致力於增強我們軟體VirtualLab Fusion的平面透鏡功能，以在2025年之前實現這些目標。本文集中討論第一個目標。有關所有目標的全面探討，請參閱我們關於超透鏡的論文[6]。
 


2.  平面透鏡高度輪廓的設計


     幻燈片 #39-46


       首先，我們研究使用高度輪廓構建的平面透鏡。我們對平面光學設計的探索從研究平面波如何從輸入方向向量 轉換為信號方向向量 開始。通過使用表面設計方程來確定適當的表面設計：

 

       通過解析求解設計方程，可以得到一個平面表面。這一結果完全在預料之中。虛線表示入射光束，光束與平面介面相交的區域用藍色突出顯示。減小該區域的寬度可以清楚地看出，介面僅在所需孔徑的一小部分中可用。因此，需要額外的表面來實現平面解決方案。除了我們已有的解決方案外，還存在其他滿足設計方程的替代解決方案。

 

因為對於相位值，當 為整數時，等價於 0。圖6中展示的解決方案僅由平行平面組成。參數 用於控制這些解決方案之間的間距，當設置為時，間距最小。現在，我們在狹窄的藍色區域內擁有了足夠多的解決方案。


 

圖6：幻燈片#44

     幻燈片 #47-55


       基於輸入方向向量，首先使用一個平面形成一個三角形，隨後在藍色區域內通過額外的平面進行連續構建。這種方法為針對任何給定輸入和輸出方向對的光柵輪廓提供了解析公式。的選擇決定了光柵的高度和週期，其中 可實現兩者的最小值。該方法可應用於透射和反射場景。這種光柵設計方法計畫於2025年在 VirtualLab Fusion 中發佈。


 

圖7：幻燈片#54


 

     幻燈片 #56-59


       我們現在繼續討論涉及平面和球面相位輪廓轉換的更廣泛場景。由於轉換由功能透鏡指定，透鏡表面的形狀通過表面設計方程的數值解析確定。藍色區域表示透鏡表面的深度。減小該區域的厚度可以清楚地看出，在較薄的平板中，大部分區域沒有可用的表面來執行轉換。為了實現平面透鏡，需要額外的表面 ，這些表面可以通過數值解析得出。
 

       其中 是一個整數（  ）。參數用於調整平面透鏡的厚度，當設置為 時，可以得到最薄的配置。


 

圖8：幻燈片#61


 

     幻燈片 #60-63


       平面透鏡的設計過程從建立基線並確定其與表面的交點開始。在每個交點處，沿著局部方向 開始繪製一條直線，並確定其與後續表面的交點。通過在整個透鏡孔徑上應用此方法，可以識別薄平板內平面透鏡表面的區域。
 
       這一概念使得設計平面透鏡表面的快速且靈活的演算法成為可能。該方法適用於涉及透射和反射的場景，並且在是否假設旋轉對稱的情況下都有效。該設計演算法已集成到我們專有的 VirtualLab Fusion 軟體中，並計畫在 2025 年的更新中發佈。


 

圖9：幻燈片#75

 

     幻燈片 #64-81


       現在讓我們考慮設計演算法的一些示例應用。儘管該設計方法非常適用於實際場景，但提供的示例旨在展示設計演算法的功能，以用於說明目的，而不是直接用於現實世界的應用。首先是一個聚焦透鏡的示例，展示了基線和區域的構建。在這種情況下，導致透鏡厚度約為 2 µm。在接下來的準直場景中，選擇 可實現約 50 µm 的透鏡厚度。在這種情況下，設計導致側壁明顯傾斜。接下來，我們考慮一個軸向場的成像示例。設計演算法非常靈活，允許設置區域的最小橫向尺寸，同時允許增加局部高度（見圖 9）。這種方法已有效地應用於 Meta 的 Oculus VR 眼鏡中使用的平面透鏡。設計演算法允許將透鏡光焦度分佈在彎曲和平面透鏡表面輪廓上。為了實現這種組合，我們從彎曲基線開始，並遵循與直線基線相同的程式。圖 10 顯示了一個示例。



     幻燈片 #82-84


       這些示例表明，我們開發了一種專門用於平面透鏡高度輪廓的設計演算法。根據其高度輪廓工作的平面透鏡通常被稱為：


 

圖10：幻燈片#81
 

       - 菲涅爾透鏡（適用於較大的 ）

       - 繞射透鏡（適用於 ）

       - 超區域繞射透鏡（適用於較小的 ）
 
       對於繞射透鏡，高度輪廓可以被離散化，以便通過二元光刻技術進行製造。接下來，我們將討論利用超表面的平面透鏡設計。
 

 
3 . 超透鏡設計



     幻燈片 #85-88


 

圖11：幻燈片#88

 

       在設計用於可見光的繞射透鏡時，會獲得厚度約為 1 µm 的層。從 的繞射透鏡設計中可以清楚地看出，該層通過引起與相位差 匹配的局部相位延遲，將 轉換為 ，其中 且 。繞射透鏡通過變化的高度輪廓 實現這種局部相位延遲，如圖 11 所示。


 

圖12：幻燈片#89


 

     幻燈片 #89-93

       或者，考慮一種具有恒定厚度 但折射率 在橫向維度上變化的層。圖 12 展示了這種情況。折射率的變化是相位差的原因，可以用以下方程大致描述：
 

       為了繼續討論，我們考慮二維空間中的折射率分佈。接下來，假設橫向變化是以圖元化的方式實現的，而不是連續的，從而得出：
 

  
       位置建立了一個適當的網格，例如笛卡爾網格。超表面利用每個圖元上的高折射率奈米結構，放置在較低折射率的基底上，以實現局部折射率和相關的相移。這一概念要求圖元之間的距離 小於波長。結果產生了一個由每個圖元的適當奈米結構組成的超表面。


 
     幻燈片 #94-100


       這種方法已經被認識了一段時間，但最近重新引起了興趣 [1, 3]。通過多種理論方法研究了生成相位延遲的過程，這些方法在每圖元使用的奈米結構的類型和形式上有所不同。為了初步瞭解，可以考慮閱讀 Lalanne 和 Chavel 的綜述 [4]。此外，推薦閱讀 Yang Fan 等人的資訊豐富的教程，其中包含許多額外的參考文獻 [5]。


 

圖13：幻燈片#100

 

       設計超透鏡的基本步驟包括：

       1. 選擇奈米結構：通常稱為元原子或元胞，選擇與您的製造工具或合作夥伴能力相符的奈米結構。

       2. 分析奈米結構的相位延遲：根據結構參數 （如高度、尺寸、方向）分析奈米結構的相位延遲，並獲取元胞在位置 處對入射場 的相位延遲資料 。

       3. 確定參數：為每個圖元 找到滿足以下條件的參數：
 

       4. 組裝超透鏡：將選定的元胞放置在網格上的每個位置 。



     幻燈片 #101-102


       上述超表面設計方法可通過 VirtualLab Fusion 軟體實現。開發工作正在進行中，新功能計畫在 2025 年的更新中發佈。圖 14 展示了一個示例，展示了使用上述演算法構建的超透鏡的聚焦能力。
 

 

圖14：幻燈片#102


 

     幻燈片 #103-117


       在討論的結尾，我們展示了一個示例，其中我們利用了由旋轉奈米鰭片製成的超透鏡的偏振敏感性。如需深入分析，請參閱我們的超透鏡參考文章 [6]。我們將超透鏡放置在一個厚透鏡前面，旨在研究組合透鏡的焦點如何根據輸入偏振而變化。超透鏡通過一個快速且近似的模型進行模擬，展示了超透鏡的偏振敏感焦距，同時忽略了一些雜散光的影響。該建模方法與 VirtualLab Fusion 中使用的先進快速透鏡系統建模技術相容。所選的建模精度和速度之間的平衡允許在幾秒鐘內完成系統模擬。
 
       首先，我們展示了一個模擬，其中包含一個奈米片超透鏡和一個功能聚焦透鏡。模擬提供了檢測平面上的光線路徑和輻照度分佈。為了增強第二個檢測器平面上的光可見性，我們調整了該檢測器視窗的比例設置。將偏振改為左旋圓偏振光會改變焦點位置。切換到線性偏振光會導致形成兩個焦點。
 
       接下來，我們使用透鏡製造方程將功能聚焦透鏡替換為球面透鏡。在這個包含超透鏡和球面透鏡的元件中，顯著的球面像差會移動焦點。為了最小化像差，我們將球面透鏡替換為非球面透鏡。現在我們獲得的結果幾乎與功能透鏡一致。有關使用線性偏振入射光獲得的結果，請參見圖 15。
 
       該示例展示了通過適當選擇建模精度和速度之間的平衡來探索超透鏡有效性的方法。


 

圖15：幻燈片#116


 

4 . 結論



     幻燈片 #118


       平面透鏡對於光學設計工具包來說，是一個重要且引人入勝的提升，特別提現在成像和照明領域。平面透鏡的有效性和實用性高度依賴于它們的應用環境。最終，我們需要將平面透鏡技術納入透鏡設計工作流程中，並且充分理解和利用其潛力是至關重要的。在 LightTrans，我們致力於通過我們的軟體 VirtualLab Fusion 在 2025 年實現這一重要目標。敬請期待更多更新！


參考文獻：

[1] P. Lalanne et al. “Design and fabrication of blazed binary diffractive elements with sampling periods smaller than the structural cutoff”. In: J.\ Opt.\ Soc.\Am.\ A 16.5 (1999), pp. 1143–1156.

[2] Bernd H. Kleemann, Markus Seesselberg, and Johannes Ruoff. “Design concepts for broadband high-efficiency DOEs”. In: Journal of the European Optical Society: Rapid Publications 3 (2008), p. 08015. url: https://api.semanticscholar.org/CorpusID:55641984.

[3] Mohammadreza Khorasaninejad et al. “Metalenses at visible wavelengths: Diffractionlimited
focusing and subwavelength resolution imaging”. In: Science 352.6290(June 3, 2016), pp. 1190–1194. issn: 0036-8075, 1095-9203. doi: 10 . 1126 /science.aaf6644. url:https://www.science.org/doi/10.1126/science.aaf6644.

[4] Philippe Lalanne and Pierre Chavel. “Metalenses at visible wavelengths: past,present, perspectives”. In: Laser & Photonics Reviews 11.3 (May 2017), p. 1600295.issn: 1863-8880, 1863-8899. doi: 10.1002/lpor.201600295. url:https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/lpor.201600295.

 

[5] Fan Yang et al. “Wide field-of-view metalens: a tutorial”. In: Advanced Photonics5 (May 1, 2023). ADS Bibcode: 2023AdPho...5c3001Y, p. 033001. doi: 10.1117/1.AP.5.3.033001. url:https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2023AdPho...5c3001Y.

[6] Frank Wyrowski. Integrating Metalens Modeling into Multiscale System Simulations.2025. url: https://www.lighttrans.com/fileadmin/shared/VLF%20Technology/Technical_Insight_Integrating%20Metalens%20Modeling%20into%20Multiscale%20System%20Simulations_Article.pdf